Modelos de Valoración de Opciones: Black-Scholes

Modelos de Valoración de Opciones: Black  & Scholes

Uno de los principales modelos de valoración de opciones es la fórmula de Black & Scholes. Este modelo toma en cuenta todos los factores que influyen en el precio de la opción. Su formulación es la siguiente:

C0 = S0 * N(d1) – X * e^-rt * N(d2)

Donde: d1= ((L(S0/X) + (r + σ^2/2)*T))/ σ√T   ;  d2 = d1 - σ√T

Los elementos de las ecuaciones se interpretan de la siguiente manera:

• C0= Valor actual de la call
• S0= Valor actual de la acción o del activo subyacente
• X= Precio de ejercicio
• r= Tasa de interés libre de riesgo
• T= Tiempo hasta la liquidación de la call
• σ= Desviación estándar esperada de la acción
• L= Logaritmo neperiano
• e= Base del logaritmo neperiano= 2.71828
• N(d)= Probabilidad de que en una distribución normal cualquier número real “x” sea menor que “d”

El punto clave de este modelo de valoración de opciones radica en interpretar el significado de N(d), pues si se elimina este elemento, la ecuación quedaría de la siguiente manera: C= S0-(X/(1+r)^t) lo que equivale a la relación de paridad call-put.

Se interpreta a través de este modelo que el precio de la call es igual al precio de la acción menos el valor presente del precio de ejercicio.

El elemento N(d) nos da la probabilidad de que podamos ejercer la opción. Si N(d) es igual a 1, quiere decir que hay certeza absoluta en el ejercicio de la call y por tanto el precio será S0- valor presente de X. A su vez, si N(d) es cero quiere decir que no se podrá ejercer la opción y por tanto su precio será cero. Por ejemplo, “d” será mayor cuando la volatilidad, el tipo de interés, el tiempo y el precio de ejercicio aumentan. En la medida que “d” es mayor, N(d) se aproxima más a 1.

El precio de la put se obtiene de la paridad entre put y call: C-P= S0- X*e^-rt, a partir de la cual se despeja P; P= C + X*e^-rt – S0.

Para hacer uso directo de la fórmula de este modelo de valoración de opciones se deben tener los datos correctos. El precio actual de la acción y el precio de ejercicio se pueden obtener del mercado. El tiempo se debe expresar en años. La volatilidad se expresa a través de la desviación estándar. Respecto a la tasa de interés libre de riesgo, se deber buscar un instrumento libre de riesgo con el mismo vencimiento que la opción.

N(d) proporciona la probabilidad en una distribución normal, de que un número al azar sea menor que “d”. Gráficamente, representa el área bajo la campana de Gauss que se encuentra desde “d” hacia la izquierda.